Rezo Əliyev - Çoxvariantlı texnoloji proseslərin optimallaşdırılmasında alqoritmik qraf nəzəriyyəsinin tətbiqi

Çoxpilləli texnoloji proseslərin optimal layihələndirilməsi onun təşkil olunduğu emal mərhələlərinin ayrı-ayrılıqda parametrik optimallaşdırılması ilə bərabər ümumi prosesin strukturunun da əlverişli seçilməsini tələb edir. Texnoloji prosesin reallaşdırılmasında tətbiq olunan NC-texnologiyası prosesin çevikliyini artıraraq, onu müxtəlif variantlarda həyata keçirməyə şərait yaradır. Bu variantlar çox hallarda ümumi analitik asılılıqlarla təyin oluna bilmədiyindən bir-birindən asılı olmayan diskret proses variantlarına gətirib çıxarır. Belə olan halda verilmiş meyyarlar əsasında əlverişli variantın seçilməsi alqoritmik qraf nəzəriyyəsinin tətbiqi ilə mümkündür. Təsvir olunan məsələnin həllində alqoritmik qraf nəzəriyyəsinin tətbiqi, kompleks həndəsi formaya malik hissələrin yüksək sürətli frezlənməsində kombinatorika optimallaşdırma üsulunun köməyi ilə optimal emal ardıcıllığının tapılması misalında nümayiş etdirilmişdir.

Açar sözlər: Çoxvariantlı texnoloji proseslər, kombinatorik optimallaşdırma, qraf nəzəriyyəsi, yüksək sürətli frezləmə, qalıq material

1. Çoxvariantlı proseslərin layihələndirilməsi

Texnoloji emal marşrutlarının layihələndirilməsi mühəndislər qarşısında ümumi prosesin tərkib hissəsi olan əməliyyatların uyğun avadanlıq və emal rejimləri ilə birlikdə seçilməsi vəzifəsini qoyur. Maşınqayırmada texnoloji proseslərin layhələndirilməsi üçün mümkün həllərin çoxvariantlı olması səciyyyəvidir. Hətta adi sadə hissələr üçün tərkib və həcm etibarı ilə bir-birindən fərqlənən, hissənin dəqqiliyi və keyfiyyətinə qoyulan tələbləri ödəyən çoxlu sayda texnoloji proseslər işlənə bilər. Məsələn, verilmiş pilləli val pəstahalma üsulundan asılı olaraq: bir başa çubuqdan yonmaqla, ilkin halda təzyiq altında forma vermə-yonma, təzyiq altında emal-pardaqlama və s. marşrutlar üzrə hazırlana bilir [1,3]. Çoxvariantlı texnoloji proseslərə dair daha bir misal kimi çox deşikli pəstahların emalını göstərmək olar. Çoxlu deşiklərə malik pəstahların emal texnologiyasının çoxməqsədli dəzgahlarda layihələndirilməsi zamanı alətin boş gedişlərinin müxtəlif variantlarda aparılma imkanları bu emal marşrutlarının sayını kəskin artırır. Boş gedişlərə sərf olunan köməkçi vaxt ədədi vaxtının böyük hissəsini təşkil etdiyindən texnoloji əməliyyatın layihələndirilməsi zamanı optimal emal ardıcıllığının tapılması zəruridir.

 

Şəkil 1. Kəsmə rejiminin optimallaşdırılması (1).

 

Şəkil2. Dikret polioptimallaşdırma (2).

Bundan əlavə prosesin aparılması üçün müxtəlif texnoloji imkanlar verən avadanlıqların olması da son həndəsi formanı müxtəlif yollarla əldə etmək üçün geniş imkanlar açır. Bu emal marşrutları da özlüyndə bir-biri ilə texniki-texnoloji cəhətdən asılı olan müxtəlif (əməliyyatlar, keçidlər və s.) mərhələrdən təşkil olunur. Texnoloji proseslərin layihələndirilməsində qarşıda duran əsas vəzifələrdən biri də prosesin müəyyən meyyara nisbətən optimal olmasının təmin edilməsidir. Məmulun keyfiyyət göstəricilərinin təmin edilməsi və istehsalda zay məhsul buraxılışının minimallaşdırılması ilə bərabər istehsal xərclərinin və uyğun olaraq emal vaxtının minimallaşdırılması vacibdir. Bu baxımdan formalaşmış vəzifələr çoxpilləli texnoloji proseslərin layihələndirilməsində optimal variantın seçilməsi yollarını müəyyənləşdirir. Optimallaşdırma mərhələsində çox vaxt disker və kəsilməz problemlərin həlli qarşıya çıxır. Kəsilməz problemlərin həllinə misal kimi kəsmə rejimlərinin tapılmasını göstərmək olar (şəkil 1). Alətlərin, tərtibatların və emal ardıcıllığının seçilməsi, avadanlıqların sazlanması tipik diskret məsələdir (şəkil 2). Diskret həllərlə xarakterizə olunan problemlərdə proses variantları arasında bir başa əlaqə olmasa da onların son halını müəyyən edən parametrlərdən istifadə etməklə onlar arasında əlaqə yaratmaq və bununla optimal variantı ya parametrik ya da evristik üsullardan istifadə etməklə seçmək mümkün olur. Belə proseslərin modelləşdirilməsində qraf nəzəriyyəsinin tətbiqi özünəməxsus imkanlar açır.

2. Alqoritmik qraf nəzəriyyəsinin tətbiqi

Qraflardan texnoloji proseslərin ardıcıllığının təsvir olunmasında tətbiqi çoxdan məlumdur. Müxtəlif mərhələlərdən ibarət proseslərin qrafiki təsviri qraflardan istifadə olunaraq vizual, başa düşüləcək şəkildə göstərilir. Alqoritmik qraf nəzəriyyəsinin tətbiqi indiyə qədər əsasən maşın konstruksiyalarının tərkib hissəsinin təsvirində və optimallaşdırılmasında, robotexnikada robotların gediş yollarının optimallaşdırılmasında rast gəlinir [4-7]. Qraf nəzəriyyəsinə əsaslanan bir çox alqoritmik həll yolları güclü müasir hesablama texnikasının köməyi ilə maşınqayırmada diskret tərkibli istənilən proses üçün tətbiq oluna bilər. Variantların sayı çox olduqda hətta müasir EHM-lər də bütün variantları hesablayıb müqayisə etmək qarşısında aciz qalırlar. Bu aşaıdakı misalda daha aydın görünür.

 

Şəkil 3. Çoxdeşikli (n=15) pəstahın emalında mümkün alət trayektoriyası.

Çoxdeşikli pəstahın emalına qayıdaq. Deşiklərin açılması məsələsində alətin optimal hərəkət trayektoriyasının tapılması klassik kombinatorika məsələinə gətirlir. Müxtəlif diskret həllərdən təşkil olunmuş qraf üzrə optimal, yəni qısa yolun tapılması hələ XİX əsrdən məlum olan "səyyar satıcı problem"idir [6,7]. Klassik halda səyyar satıcı probleminin qoyuluşu belə təsvir olunur: “Satıcı birinci şəhərdən çıxır, hər dəfə naməlum ardıcıllıqla şəhərləri (3,1,2,5,..n) gəzir və başlanğıc şəhərə qayıdır. Şəhərlərarası məsafə məlumdur. Satıcı şəhərləri elə keçməlidir ki, onun getdiyi yol ən qısa olsun." Maşınqayırma texnologiyasında diskret həllərə malik bir çox məsələləri səyyar satıcı məsələsinə gətirmək mümkündür. Ümumi şəkildə səyyar satıcı məsələsi riyazi olaraq aşağıdakı kimi ifadə olunur. Səyyarın keçdiyi şəhərlər qrafın düyümlərini, keçdiyi yol isə onun qollarını təşkil edir. Keçilən düyümlərin sayı-n, i və j düyümlər cütlüyü arasındakı məsafə Cij ilə işarə olunarsa onda optimallaşdırma məsələsinin həlli t=(j1 , j2 ,..., jn) düyümlərinin elə ardıcıllığının tapılmasına gətirilir ki, bütün yol parçalarının cəmi minimum olsun:

{displaystyle L=L(t)=sum _{k=1}^{n}C_{jkj_{k+1}}=min} (1)

Yalnız mümkün variantları yoxlayıb əlverişlisini seçmək, qoyuluşu sadə görünən bir məsələ olsa da, praktikada həlli müəyyən çətinliklərlə bağlı olan problemdir. Kombinasiyaların sayı (N) qrafın düyümlərinin sayından (n) asılı olaraq belə hesablanır:

{displaystyle N={frac {(n-1)!}{2}}} (2)

Deşiklərin açılması misalında (şəkil 3) bu o deməkdir ki,

• n = 10; -> N = 181440;
• n = 15; -> {displaystyle N={4,35}cdot 10^{10}}
• n = 20; -> {displaystyle N={6,08}cdot 10^{16}}

Göründüyü kimi, hətta ən güclü müasir kompyüterin tətbiqi ilə n=15 olan hal üçün qısa vaxtda bütün həlləri yoxlayıb optimal variantı tapmaq mümkün deyil. Əgər kompyüterdə 1 saniydə 1 milyon əməliyyat aparamq mümkün olduğu nəzərə alınarsa, onda hesablama üçün bir neçə gün lazım gəldiyi aşkar görünür. Belə mürəkkəb və əməktutumlu heabatları sadələşdirmək üçün bir sıra alqoritmik üsullar işlənib tətbiq olunmuşdur. Növbəti mərhələdə qraf nəzəriyyəsinə əsaslanan alqoritmik həll yolu mürəkkəb həndəsəyə malik hissələrin yüksək sürətli frezlənməsi zamanı qalan qalıq materialının çıxarılması üçün optimal alət ardıcıllığının seçilməsində tətbiq edilmişdir.

3. Yüksək sürətli frezləmədə qalıq materiallarının çıxarılması

 

Cədvəl 1. Qalıq materialın çıxarılması üçün frezləmə strategiyaları.

Mürəkkəb həndəsi formaya malik hissələrin yüksək sürətli frezlənməsi özlüyündə bir neçə əməliyyatı birləşdirən, müasir texnoloji avadanlığın, kəsici alətin və layihələndirmə sistemlərinin tətbiqini tələb edən texnoloji prosesdir. Hissə o vaxt tam emal olunmuş hesab olunur ki, onun bütün radiusları, deşikləri, cibləri və s. çətin əlçatan sahələri lazımı keyfiyyətə çatdırılmış olsun. Qeyd olunan həndəsi elementlərin təmiz emalından sonra müəyyən həcmdə qalıq materiallar qalır, çünki təmiz emalda tətbiq olunan frez alətinin radiusu həmişə kiçik qovuşma səthlərinin radiusundan böyük olur. Bütün səthi kiçik alətlə frezləmək iqtisadi cəhətdən əlverişli olmadığından xüsusi qalıq materiallarının çıxarılması əməliyyatına ehtiyac yaranır. Qalıq materiallarının çıxarılması çox əməktutumlu bir proses olub, ona sərf olunan vaxt hətta ən müasir CNC dəzgahının tətbiqi şəraitində hissənin tam emalına sərf olunan ümumi vaxtın 30 %-ni təşkil edir [8-10]. Qalıq materialın həcmi frezləmə əməliyyatının həcmini müəyyənləşdirir. Onun layihələndirilməsi CAM sisteminin köməyi ilə aparılır. Alətin trayektoriyasının hesablanması iki üsula əsaslanır: - Qalıq materialın qaldığı səthi müəyyənləşdirmək və oranı təmiz frezləmək, - Qalıq materialın həcmini müəyyənləşdirmək, öncə kobud emal, sonra isə sahəni təmiz emal etmək. Çətin emal olunan materiallarda qalıq materialı mərhələsinin layihələndirilməsi xüsusi tələblərlə qarşılaşır. Məcburi şəkildə tətbiq olunan nazik və uzun radius frez alətləri heç də həmişə optimal kəsməyə şərait yaratmırlar. Belə halları aradan qaldırmaq üçün CAD/CAM sistemlərində xüsusi strategiyalar işlənib hazırlanmışdır. Cədvəl 1-də bu strategiyalar yuxarıda qeyd olunan, qalıq materialının tutuduğu səthə və həcmə əsaslanaraq qruplaşdırılmışdır. Texnoloqun vəzifəsi interaktiv rejimdə CAD/CAM sisteminin köməyi ilə bu mümkün strategiyalardan emal üçün əlverişli olanını seçməkdir. Qalıq materialının frezlənməsi əməliyyatının layihələndirilməsi zamanı texnoloq heç də həmişə alət bankından olan alətlər ardıcıllığı, onların bir-biri ilə optimal kombinasiyası üçün tam informasiyaya malik olmur. Qovuşma səthlərinin radiusu sonuncu alətin radiusunu təyin edir. Qalıq materialın bir alətlə və ya bir-birini ardıcıllayan bir neçə alətlə emal olunması qərarını proqramlaşdırıcı təcrübi biliklər əsasında verir. Kəsmə zonasının həndəsi parametrləri haqqında tam məlumat qərarların qəbul edilməsi üçün zəruridir. Bunun əsasında texnoloq bir tərəfdən prosesin optimallaşdırılması, digər tərəfdən isə kəsmə rejimlərinin səthin keyfiyyətinə təsirini araşdırmaq üçün imkanlara malik olur.

4. Qalıq materialların frezlənməsində kəsmə zonasının həndəsi parametrləri

Qalıq materiallarının çıxarılması əsasən səth boyunca hərəkət edən və bu zaman daima dəyişən kəsmə şəraitində işləyən radiuslu frezlə aparılır [8]. Səthə əsaslanan frezləmədə səth sətirbəsətir frezlənir. Proqramlaşdırıcı burada yalnız sətirlərarası məsafəni daxil edir. Kəsmə dərinliyi əvvəlki və sonrakı alətlərin radiusları arasındakı fərqlə təyin olunur (şəkil 4).

 

Şəkil 4. Radiuslu frezlə emalda kəsmə zonasının parametrləri.

Proqramlaşdırma zamanı alətin trayejktoriyası xaricdən daxilə hesablanır. Birinci gedişdə müxtəlif alət radiusları daha çox kələkötürlük yaradır. İlk gedişdə verilmiş kələkötürlüyün qiymətini təmin etmək üçün sətirlərarası məsafə belə tapılır (şəkil 4):

{displaystyle b_{0}=b_{1}+b_{2}} (3)

{displaystyle b_{1}={sqrt {r^{2}-{(r-R_{z})}^{2}}}}

{displaystyle b_{2}={sqrt {r^{2}-{(R-R_{z})}^{2}}}} (4)

{displaystyle b_{0}={sqrt {2rR_{z}-{R_{z})}^{2}}}+{sqrt {2RR_{z}-{R_{z})}^{2}}}} (5)

Sonrakı sətirlərdəki məsafə üçün bu düsturdan istifadə olunur:

{displaystyle b_{con}={sqrt {r^{2}-{(r-R_{z})}^{2}}}} (6)

Sətirlərarası məsafə bir başa səthin kələkötürlüyünə təsir etdiyindən onun buraxılabilən qiymətinin tapılması ilə səthin tələb olunan keyfiyyəti təmin oluna bilir.

5. Qalıq materialı emalının optimallaşdırılması

Tədqiqatlar göstərir ki, varislik xassəsinə malik kontur, qovuşma səthlərinin formalaşmasında əhəmiyyətli rol oynayır. Qalıq material, bu əməliyyatın layihələndirilməsində əvvəlki (təmiz emal) və sonrakı mərhələlər arasında əlaqə yaradır. Qalıq materialın tam çıxarılması üçün sərf olunan vaxtı minimallaşdırmaq məqsədilə aparılan optimallaşdırma tətbiq olunan alətlər arasında riyazi asılılığın yaradılmasını tələb edir. Optimallaşdırmanın məqsədi səthi tələb olunan keyfiyyətdə hazırlamaq üçün texnoloji təyin olunmuş proses variantının müəyyən edilməsidir.

5.1. Nəzəri modelləşdirmə

Məqsəd funksiyası kimi gətirilmiş emal vaxtından (tgət.) istifadə olunur. O, əsas və köməkçi vaxtlardan təşkil olunur. Əsas vaxt prosesə təsir edən parametrlərdən v, b və qovuşma səthlərinin uzunluqlarının cəmindən-L asılıdır. Kələkötürlüyün buraxılabilən qiyməti Rz ilə məhdudlaşan sətirlərarası məsafəni (b) nəzərə almaqla əsas vaxtı belə hesablamaq olar:

{displaystyle t_{e}={frac {(L*n)}{V}}} (7)

burada n kontur boyu gedişlərin sayıdır:

{displaystyle n=1+{frac {(R-r-b_{0})}{b_{con}}}} (8)

Əgər (6) düsturunu (5)-də nəzərə alsaq, onda alınır:

{displaystyle t_{e}=(L/V)*leftlangle 1+{frac {(R-r-b_{0})}{b_{con}}})rightrangle }`(9)

Gətirilmiş emal vaxtı: tgət.= təsas+tköm.

Optimallaşdırma meyyarı kimi minimum gətirilmiş vaxt axtarılır:

tgət.∑→min

Prosesin oiptimallaşdırılması zamanı emal payının texnoloji cəhətdən bölünməsi müxtəlif frez alətlərinin kombinasiyasına gətirib çıxarır (şəkil 5). Gətirilmiş vaxtın minimumunu tapmaq üçün mümkün alətlər ardıcıllığının optimumi seçilməlidir. Əsas vaxt bütün alətlər ardıcıllığı üçün ümumi formada (5), (6) və (9)-ni nəzərə almaqla belə hesablanır:

{displaystyle t_{sum}=(L/V)*sum _{i=1}^{k}{leftlangle 1+{frac {r_{i}-r_{i+1}-{sqrt {2r_{i+1}R_{z}-{R_{z}}^{2}}}-{sqrt {2r_{i}R_{z}-{R_{z}}^{2}}}}{2{sqrt {{r_{i+1}}^{2}-{(r_{i+1}-R_{z}})^{2}}}}}rightrangle }} (10)

Qalıq materialın müxtəlif alətlərlə emalı üçün ümumi vaxtın təsviri göstərir ki, təmiz emalda tətbiq olunan alətin rasdiusu ilə qovuşma səthinin radiusu arasındakı fərq bütün proses üçün əsasdır. rəvvəlki/rsonrakı alətlər nisbətinin sabit qiymətində alətlər kombinasiyasının optimumu daha çox bu nisbətin orta qiymətlərində (rəvvəlki/rsonrakı  0,5÷0,6) nəzərə çarpır (şəkil 6).

 

Şəkil 5. Qalıq materialın frezlənməsi üçün emal yolları (Misal: L=10 m, v=5 m/dəq, Rz=0,05 mm, ttch. =0,5 dəq).

 

Şəkil 6. Müxtəlif alət kombinasiyasında frezləmə vaxtları (V=10 m/min, L=50 m, Rz=0,05 mm, ttch. =1 dəq)

Şəkil 6-da (10) düsturunun köməyi ilə müxtəlif alətlərlə icra olunan qalıq materialının frezlənməsi üçün gətirilmiş vaxt hesabatının nəticələri təsvir olunmuşdur. Burada iki hal fərqlənir. Birinci halda təmiz emal alətinin radiusu 12 mm, qovuşma səthinin radiusu isə 2 mm-dir. Qalıq materialının azaldılması rəvvəlki/rsonrakı nisbətini sabit saxlamaqla müxtəlif alətlərlə aparılır. Nəticədə yaranan müxtəlif alətlər ardıcıllığı müxtəlif emal vaxtına aparır. İkinci halda təmiz emaldan istifadə olunan alət 10 mm radiusa malikdir. Uyğun olaraq əməktutumu da aşağıdır. Alətlər arasındakı nisbət böyük olduqda hər mərhələdə proses qısa zamanda icra oluna bilsə də, tez-tez alət dəyişdirilməsi ümumi vaxtı artırır. Tətbiq olunan alətlərin sayı az olduqda emal vaxtı hər alətə düşən material həcmi sayəsində böyük olur. İstehsalatda belə texnoloji prosesin layihələndirilməsində optimal alətlər ardıcıllığı alətlər bankından seçilməklə aparılmalıdır. Optimallaşdırma zamanı mövcud alətlər verilmiş məhdudiyyətlər daxilində optimal kombinasiya edilməyə gətirilir.

5.2 Prosesin optimallaşdırılması

Göründüyü kimi burada məsələ kombinatorik optimallaşdırmadan ibarətdir. Ümumi vaxtın minimumunu əldə etmək üçün mümkün alət ardıcıllığı variantlarından optimal olanını seçmək lazımdır, yəni diskret elementlər (alət ardıcıllığı) çoxluğundan qoyulmuş meyyara nisbətən optimal olan və verilmiş məhdudiyyət şərtlərinin ödəyən bir altçoxluq layihələndirilməlidir. Optimal həll addım-addım xüsusi alqoritmlərin köməyi ilə yoxlanılır və sintez olunur.

Əgər qalıq materialının gətirilmiş emal vaxtını iki ardıcıl gələn alət arasında Tij ilə işarə etsək, onda mövcud problem qraf nəzəriyysəinin köməyi ilə aşağıdakı kimi riyazi təsvir oluna bilər. Əldə olunmuş qraf biderksionaldır, yəni qraf üzrə hərəkət yalnız böyük alətdən kiçiyə doğru yönələ bilir. Verilmiş alətlər B1, …., Bn, qrafın düyümlərini təsvir edirlər (şəkil 5). B1, …., Bn ardıcllığı arasında optimal xassəyə malik yol (1) düsturu əsasında formalaşdırılmış

{displaystyle sum _{j=1}^{n-1}T_{i_{j}i_{j}+1}=min} (11)

şərtini ödəyəndir. Bu cəm qalıq materialın çıxarılmasına sərf olunan ümumi vaxtı göstərir. Qraf üzrə alət ardıcıllığı düyümlər arası uzanan oxlar ardıcllığı ilə əvəz olunur. Ümumi frez vaxtı isə oxların çəkilərinin (Tij ) cəmindən ibarətdir. Bununla problem qraf üzrə ən kiçik yolun seçilməsinə gətirilir ki, bu da qraf nəzəriyyəsinin klassik problemlərindədir. Qrafın qolları istiqamətlənmiş və müsbət qiymətə malik olduğundan məsələnin həllində Diykstra-alqoritmini tətbiq etmək məqsədəuyğundr. Bu alqoritmlə optimal emal ardıcıllığını təsvir edən həlli asan tapmaq mümkündür. Cədvəl 1-də Diykstra alqoritminin şəkil 6-da göstərilmiş misal üçün tətbiqi verilmişdir. Cədvəlin tərtib olunması [7]-də ətraflı izah olunmuşdur. Cədvəlin birinci sətirində qrafın düyümlərinə uyğun gələn frez alətlərinin radiusları azalan ölçü üzrə qeyd olunur. Birinci sütun start düyümdən (12) başlayaraq qraf üzrə mümkün yolları göstərir. Diykstra alqoritminə əsasən qrafın bütün düyümləri bir-bir yoxlanılır. Nəzərdən keçirilən düyümlər cədvəlin ikinci sütununda qeyd olunur. Eyni sətirdə həmin düyümdən (Bij) digərlərinə qədər olan yol uzunluqları (bizim halda frezləmə vaxtı Tij) göstərilir. Səyyar satıcının daxil olduğu düyümə keçilən yolun uzunluğu inikas olunur. Əgär texnoloji baxımdan düyümlər arasında heç bir əlaqə mövcud deyilsə onda düyüm  qiymətini alır. Bir düyümə bir neçə yol apararsa onda düyüm ən kiçik yolun qiymətini özündə saxlayır, digərləri isə nəzərdən atılır. Bu yolla sonuncu düyümə (2) doğru hərəkət etdirilir. Cədvəlin sonuncu sətrində ən qısa yol təsvir olunur. Bizim halda bu 12-8-6-4-2 ardıcıllığıdır. Qeyd olunan metodkanı daha aydın təsvir etmək üçün cədvəlin sağ tərəfində „əvvəlkilər“ bölməsində ən qısa yol ağacını təşkil edən düyümlər ayrılıqda verilmişdir. Qrafda ən qısa yolu göstərən oxlar qırıq-qırıq xətlə fərqləndirilmişdir (şəkil 5).

 

Cədvəl 1.Diykstra alqoritminin köməyi ilə ən kiçik yolun tapılması

6. Xülasə

Məqalədə təsvir olunmuş üsulla qalıq materialların yüksək sürətli emalında optimal proses strukturunun tapılması təsvir olunmuşdur. Araşdırma aşağıdakı parametrlərin bir başa prosesin gedişinə təsirini üzə çıxartmağa imkan verirmişdir: - Təmiz emaldan sonra üzərində qalıq material qalan qovuşma səthinin radiusu, - Emalolunan səthlərinn uzunluğu, - Alətdəyişmə vaxtı. - Bankda olan alətlərin sayı, - Emal olunan səth boyu dəzgahın əldə edə biləcəyi orta veriş sürəti, - Tələb olunan kələkötürlük, - Hissənin materialının xassələri. Kələkötürlüyə əsasən işlənmiş məhdidiyyət modeli əssında aparılmış nəzəri hesablamalar göstərdi ki, qalıq materialı ölçüləri bir-birinə yaxın olan alətlə daha tez çıxarıla bilir. Amma bu halda köməkçi vaxt artdığından prosesin optimal həlli heç də ən kiçik alət fərqində yerləşmir. Bundan əlavə, alət radiusları arasında böyük sıçrayış yalnız asan emal olunabilən materiallarda mümkündür.